Question

数学 关于等价无穷小替换

令x趋向于0，若f(t)在t=0处收敛，那么上式应当等价于xf(0)
但是若f(t)在t=0处不收敛时该如何呢？等价于xf(x)么？还是不一定？

Answer 1

设f(t)在【0,x】上不恒为0。

追问

但是当f(0)收敛时确实等于xf(0)...因为后面那个东西不是收敛于f(0)么

那么如何判断

是否收敛？

根据你的结果，如果f(t)在[0,x]上有界，那么它一定收敛

但是如果f(t)在t=0上不收敛，那它有没有可能收敛？

追答

追问

f(t)在t=0处有极限，所以当x趋向于0的时候f()那个什么东西一定趋向于f(0)啊
可能是我没描述好
我找几个f(0)不收敛的例子试一试

追答

你都用f(0)来代替f(克西)了，应该也用0来代替x才对啊，所以应该是0*f(0)，这是极限值。
在x趋于0的过程中，x是不为0的，这很重要，同理，克西也是不为0的，所以不能用f(0)来代替f(克西)。
总之，过程中是x*f(克西)，极限是0*f(0)，而x*f(0)这种混搭是没意义的。

追问

我觉得因为f(0)是一个常数，所以用0来代替克西应该没问题。
有反例么？

追答

当然有问题，对 lim x*f(克西)/x，如果用0来代替克西，就必须也用0来代替x，就会得到
lim 0*f(0)/0，这是无意义的。x不能同时既是0又不是0.
对你的x*f(0)这个式子，我问：x是什么？
如果x是0，为什么不直接写成0*f(0)？
如是x不是0，那么克西在【0,x】区间上，显然不等于0啊？

另外，f(x)在【0,x】有界不一定可积，有界是可积的必要条件。
一般来说，让f(x)在【0,x】上分段连续就能保证可积，也可以求出你的极限值，值就是f(x)在0的左极限。而分段连续这个条件保证f(x)在区间上处处有左极限（右端点除外）。

如果用你的结论，即等价于x*f(0)，那么最后的极限必然是f(0)了。那对于在0点不连续的f(t)，显然是错的，你就用f(t)=t来验证，把f(0)改掉，随便令其为一个数，比如9。则lim xf(克西)/x = 1,而不是f(0)=9

追问

为什么非要用0代替x
f(t)可积是必然的，不然连∫f(t)dt都不存在
我说f(t)在t=0处有极限的意思就是说limt→0 f(t)=f(0)