Question

微积分问题求解答

麻烦写一下完整的解题过程，如果打字不方便，手写拍照也可以，多谢了！

Answer 1

前两题，不好写啊。这里有一道题，比这个还要复杂一些。楼主比着做就行了。

把u，v换成y，z就行了。

第三题

因为x+y+z=0

因为x^3+y^3+z3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)=0

所以x^3+y^3+z^3=3xyz

所以只要求3xyz的最大值就可以了。

因为x+y+z=0

所以只有x,y,z中有两个负数，一个正数时，3xyz才可能取到最大值。

设P(x,y,z,λ1,λ2)=3xyz+λ1(x+y+z)+λ2(x^2+y^2+z^2-1)

令P'x=3yz+λ1+2λ2 x=0

   P'y=3xz+λ1+2λ2 y=0

    P'z=3xy+λ1+2λ2 z=0

    P'λ1=x+y+z=0

    P‘λ2=x^2+y^2+z^2-1=0

前三个式子两两相减

得到(x-y)(2λ2-3z)=0

       (x-z)(2λ2-3y)=0

       (y-z)(2λ2-3x)=0

(x-y)=0，(x-z)=0， (y-z)=0三个中，有且仅有一个成立，

(2λ2-3z)=0，(2λ2-3y)=0，(2λ2-3x)=0三个中间，有且仅有两个成立，

这样才能保证3xyz取到最大值。

即x，y，z中有两个相等，且为负，另一个为正数时，才能取到最大值。

比如x=y，z=-x-y带入后两个式子得到x=y=-1/√6,z=2/√6时，最大值为1/√6。

所以最大值为1/√6

Answer 2

(1) 雅可比矩阵在(x0,y0,z0)处的值为：第一行为(1,1,1)，第二行为(2x0,2y0,2z0). 根据条件y0不等于z0,可以推出下列子行列式不为0：第一行为(1,1)，第二行为(2y0,2z0).
故根据隐函数定理可知，在(x0,y0,z0)附近，y和z可表示为x的函数y=y(x), z=z(x)。
(2) 根据(1)的结论可知，在(x0,y0,z0)附近，x+y(x)+z(x)=0并且x^2+y(x)^2+z(x)^2=1,
对上边二式对x求导，可得 1+y'(x)+z'(x)=0并且2x+2y(x)y'(x)+2z(x)z'(x)=0, 根据这两个式子可得
y'(x)=(x-z(x))/(z(x)-y(x)), z'(x)=(x-y(x))/(y(x)-z(x)),
再取x=x0, 可得y'(x0)=(x0-z0)/(z0-y0), z'(x0)=(x0-y0)/(y0-z0).