Question

请问极限和导数有什么关系？

这几天学高数，老师老是提极限是导数的的基础。我就看不出极限和导数有着什么联系。请问它们之间有什么联系么？

Answer 1

当函数y=f(x)的自变量X在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数。从这个定义就可以知道导数是由极限引出来的。
它写成关系式为：
f(x0)'=lim(x→x0）[f(x)-f(x0)]/(x-x0).

追问

那我从数列极限的ε-N以及函数极限的δ-ε的关系，没发现有极限和导数的关系啊。

追答

数列极限的ε-N以及函数极限的δ-ε的关系，这个只能说明是数列有极限，但数列不是函数，数列没有导数。

追问

那数列的极限有ε-N刻画，可这导数，我怎么看也看不出它和极限有什么关系。

追答

f(x0)'=lim(x→x0）[f(x)-f(x0)]/(x-x0).你要从定义去理解导数，前面这个定义数学表达式子中，等号左边是导数，等号右边是某个函数的极限lim，然后中间用等号建立联系，这不就是极限与导数的关系否？

追问

那么极限是怎么刻画出来的。不是通过ε-N语言来刻画么？

追答

ε-N语言来刻画极限，现在是用极限来刻画导数，你要用ε-N语言来刻画导数，那就复杂了。

Answer 2

导数是用极限定义的，这就是关系。

Answer 3

极限的导数是先求极限在对结果求导；导数的极限是先求导，然后对导函数求极限。
可导的函数一定连续。不连续的函数一定不可导。连续必存在极限。
极限是微积分中的基础概念，它指的是变量在一定的变化过程中，从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的值（极限值）。
导数定义为，当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。
扩展资料
极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终。可以说数学分析中的几乎所有的概念都离不开极限。
在几乎所有的数学分析著作中，都是先介绍函数理论和极限的思想方法，然后利用极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、级数的敛散性、多元函数的偏导数，广义积分的敛散性、重积分和曲线积分与曲面积分的概念。如：
1、函数在
点连续的定义，是当自变量的增量趋于零时，函数值的增量趋于零的极限。
2、函数在
点导数的定义，是函数值的增量
与自变量的增量
之比
，当
时的极限。
3、函数在
点上的定积分的定义，是当分割的细度趋于零时，积分和式的极限。
4、数项级数的敛散性是用部分和数列
的极限来定义的。
5、广义积分是定积分其中
为，任意大于
的实数当
时的极限，等等。
参考资料来源：百度百科-极限