Question

高等数学 求极限 关于n的求极限问题

Answer 1

1.  ∵n^2/(n^2+nπ)<=n(1/(n^2+π)+1/(n^2+2π)+……+1/(n^2+nπ)<=n^2/(n^2+π)

        lim[n-->∞]n^2/(n^2+nπ)=lim[n-->∞]n^2/(n^2+π)=1

    ∴  据夹逼定理知，lim[n-->∞]n(1/(n^2+π)+1/(n^2+2π)+……+1/(n^2+nπ)=1

2. ∵  （1^2+2^2+…+n^2)/(n^3+n^2)<=(1/(n^3+1)+4/(n^3+4)+…+n^2/(n^3+n^2)

                                                                                              <（1^2+2^2+…+n^2)/(n^3+1)

   即：n(n+1)(2n+1)/[6(n^3+n^2)]<=(1/(n^3+1)+4/(n^3+4)+…+n^2/(n^3+n^2)

                                                                                                <n(n+1)(2n+1)/[6(n^3+1)]

   lim[n-->∞]n(n+1)(2n+1)/[6(n^3+n^2)]=lim[n-->∞]n(n+1)(2n+1)/[6(n^3+1)]=1/3

   ∴据夹逼定理知，lim[n-->∞](1/(n^3+1)+4/(n^3+4)+…+n^2/(n^3+n^2)=1/3