Question

设a、b、c为三个不同的实数，使得方程x2+ax+1=0和x2+bx+c=0有一个相同的实数根，

设a、b、c为三个不同的实数，使得方程x2+ax+1=0和x2+bx+c=0有一个相同的实数根，并且使方程x2+x+a=0和x2+cx+b=0也有一个相同的实数根，试求a+b+c的值．

Answer 1

由x²+ax+1=0和x²+bx+c=0有一个相同的实数根可知

相同实数根为x1=(1-c)/b-a
同样的,x²+x+a=0和x²+cx+b=0也有一个相同的实数根x2=(b-a)/(1-c)
x1,x2分别代入x²+ax+1=0,x²+x+a=0得
x1²+ax1+1=0

x2²+x2+a=0

又x1*x2=1,可化为
x1²+ax1+1=0

ax1²+x1+1=0

联立得:
x=1
这是x²+ax+1=0和x²+bx+c=0的公共根
代入得a=2
同样易知x=1也是x²+x+a=0和x²+cx+b=0的公共根
代入得b+c=-1
a+b+c=1
打字不易，如满意，望采纳。

Answer 2

解：设x₁²+ax₁+1=0，x₁²+bx₁+c=0，两式相减，得（a-b）x₁+1-c=0，解得x₁= c-1a-b，
同理，由x₂²+x₂+a=0，x₂²+cx₂+b=0，得x₂= a-bc-1（c≠1），
∵x₂= 1x1，
∴ 1x1是第一个方程的根，
∵x₁与 1x1是方程x₁²+ax₁+1=0的两根，
∴x₂是方程x²+ax+1=0和x²+x+a=0的公共根，
因此两式相减有（a-1）（x₂-1）=0，
当a=1时，这两个方程无实根，
故x₂=1，从而x₁=1，
于是a=-2，b+c=-1，
所以a+b+c=-3．