Question

隐函数求导问题。

一个函数：F(X,Y)=0 无法化成Y=f(X) 的形式(隐函数)
但是可以由它决定函数Y=f(X)
现在要求f'(X) 怎么求

小弟今年高一 高等数学刚入门 严重制约物理发展 = =。
看了书有两种方法
一种公式法貌似要用到偏微分(完全看不懂 只会常微分)
另一种分离法求导 但是得到的f(X)的导函数莫名其妙的出现了一个Y = =。

很困惑 求帮助

这是分离法的文档
http://math.nankai.edu.cn/~gdsxjxb/gdsx/shoukejiaoan/shoukejiaoan/3-3.doc

这是公式法
http://wenku.baidu.com/view/f432b5c30c22590102029d37.html

Answer 1

偏微分看不懂的话就没办法了，公式法暂时放弃好了。
不过，只会分离法也是可以的。

拿x^2 + y^2 = 1举例说明。
首先，我们知道，y可以表示为x的函数（虽然每个x可以对应两个y）。
于是，可以写成y=f(x)。【注：因为y通常认为是第二个变量，为了避免混淆，写成谁都能认定是函数的形式。实际上写成y=y(x)也可以。】
这样，等式变成了
x^2 + f(x)^2 = 1。
这时候两边对x求导，很容易：
2x + 2f(x) f'(x) = 0。
其中f(x)^2的求导用到了链规则。
接下来，我们的目的是求出y'，也就是f'(x)。
由上式可知，
f'(x) = - x/f(x)。
也就是说，
y'(x) = - x / y(x)。

以上，完成了求导的过程。

以下为解释。
结果中仍然含有原来的函数y，是因为原先是个隐函数，y拎不出来。如果原来是y=f(x)的形式，就不会含有y了。
之所以看起来别扭，是因为我们以前做的都是显函数，所以等号右端只含有x，不含有y。实际上，等号右边含有什么都行（除了y' 以外，那个是要求的）。
说极端点，你可以认为y' 和y是两个完全不相干的函数。例如sinx和cosx就是两个完全不同的函数。

至于这个导数怎么应用，实际上很简单：
我们求导是为了求切线，对吧？
那么要求切线的话，起码得先告诉你在哪个点求，对吧？
所以，题目中会告诉你“求圆x^2 + y^2 = 1在点(1/2, √3/2)的切线”。
我们刚才不是求出来y'(x) = - x / y么？
y'是斜率，而x和y都是题目中告诉你的，所以就知道y' = -1/√3。
所以，题目就做出来了：圆x^2 + y^2 = 1在点(1/2, √3/2)的切线是y - √3/2 = -1/√3 (x - 1/2)。
如果题目中没有告诉点，那就写“在点(x0, y0)的切线是y - y0 = -x0/y0 (x - x0)”。

实际上，因为只要知道x，就可以解方程来知道y（起码知道近似解），所以右边有y就有y吧，没关系。

Answer 2

得出的f'(x)一般是含有y的，
否则将f'（x）积分就得到y=f（x）了，这和lz的假设矛盾。

Answer 3

得出的导函数出现Y，把原式的Y代进去就行了

Answer 4

如图