Question

线性代数试题

Answer 1

（1）证明1,x-1,(x-1)(x-2)是该向量空间的一组基，由于该空间是3维的，故只要证明他们线性无关就可以了。
令 a*1+b*(x-1)+c*(x-1)(x-2)=0
即
出 cx^2+(b-3c)x+2c+a=0
由多项式恒等于0的定义知道其所有项的系数为0，所以有
c=0,b-3c=0,2c+a=0
故a=b=c=0
即1,x-1,(x-1)(x-2)线性无关，从而是该向量空间的一组基。
（2）因为
1+x+x^2
=1+(x-1)+1+(x-1)(x-2)+3x-2
=3*1+4*(x-1)+(x-1)(x-2)
所以1+x+x^2在基1,x-1,(x-1)(x-2)下的坐标为（3,4,1)
(这里求坐标用的是凑的方法，因为题目比较简单。标准的做法是通过基变换公式得到坐标变换公式来求坐标）。