Question

已知点P(0,5)及圆C:x²+y²+4x-12y+24=0，求过P点的圆C的弦的中点Q的轨迹方程。

已知点P(0,5)及圆C:x²+y²+4x-12y+24=0，求过P点的圆C的弦的中点Q的轨迹方程。 不要用勾股定理或向量，这两个我都会。老师让用一般方法。 大概是设出PQ方程，然后与圆方程联立求交点，然后用中点坐标公式求Q，后面我就不太懂，也不太会算了。求大神给出全部过程。

Answer 1

答：
圆C，x²+y²+4x-12y+24=0
(x+2)²+(y-6)²=16
圆心（-2,6），半径R=4
当直线与y轴平行时，中点Q（m，n）为点（0,6）

当直线不平行于y轴时，设经过点P（0,5）的直线为y=kx+5
代入圆方程得：
x²+(kx+5)²+4x-12(kx+5)+24=0
(1+k²)x²+(10k+4-12k)x+25-60+24=0
(1+k²)x²+(4-2k)x-11=0
根据韦达定理有：
x1+x2=(2k-4)/(1+k²)=2m，k-2=m(1+k²)
因为：n=km+5
所以：k=(n-5)/m
代入得：
(n-5)/m -2=m+m(n-5)²/m²=m+(n-5)²/m
两边乘以m：
n-5-2m=m²+(n-5)²=m²+n²-10n+25
m²+n²+2m-11n+30=0
所以：中点Q的轨迹为圆x²+y²+2x-11y+30=0