Question

工程数学，线性代数，1.关于A的n次方的矩阵的求法，2.关于矩阵乘法，3.关于逆矩阵的求法。

Answer 1

求一个m阶矩阵A的n次方的常用方法：
1.利用相似。若A与B相似，则存在可逆矩阵P使得P^（-1）AP=B，则A^n=PB^nP^（-1）。为了简化运算，所求与A相似的矩阵B一般是对角矩阵或A的Jordan标准形：
（1）对角矩阵：即B=diag{λ1，λ2，...，λm}，两个对角矩阵相乘仍是对角矩阵，且对角线上每一个元素为对应的两个矩阵相应位置元素的乘积；
（2）Jordan标准形：则B为分块对角矩阵，主对角上的每一块为一个Jordan块，它可以表示为aE与形如
[0 1 0 ... 0 0]
[0 0 1 ... 0 0]
[... ... ...]
[0 0 0 ... 0 1]
[0 0 0 ... 0 0]（记为C）的矩阵之和的形式，若Jordan块M=aE+C，则M^n=（aE+C）^n，按二项式定理展开，由于C（若C为s阶）为幂零指数为S的幂零矩阵（即C^s=0，C^（s-1）不等于0），剩下的项通常较少。分别计算出每一个Jordan块的n次方，再将主对角上对应的每一个块阵相乘。
2.直接利用二项式定理展开。类似于上面的方法，如果A可以直接表示为一个对角矩阵与C的和，则可以直接通过A^n=（aE+C）^n用二项式定理展开。
3.利用数学归纳法。如果A的阶数是不定的、A中的元素不是常数、A是抽象的，通常采用数学归纳法。先写出前几项A、A^2、A^3...，试着找一找规律，再用数学归纳法证明你的结论。

追答

你给的这个题就可以利用方法2来做

不同矩阵相乘，若直接计算比较复杂，一般就从矩阵分块来考虑。。。看能不能转化为分块对角矩阵、分块上／下三角矩阵的乘法。此外，矩阵乘法还满足一些运算律，比如结合律、分配律等，也可以利用。

求逆矩阵最通用的办法就是伴随矩阵法和初等变换法了。如果矩阵很复杂，一般又是分块考虑，看它能否可以成为分块对角矩阵或者分块上／下三角矩阵。对于每一个简单的块阵，我们是容易求出它的逆矩阵的。

类似于
[A 0]
[0 B]的分块矩阵（对角分块矩阵），它的逆矩阵是
[A^（-1） 0]
[ 0 B^（-1）]

[0 A]
[B 0]的分块矩阵（副对角分块矩阵，刚刚忘说了），它的逆矩阵是
[0 B^（-1）]
[A^（-1） 0]

[A B]
[0 C]（上三角分块矩阵）的逆矩阵为
[A^（-1） -A^（-1）BC^（-1）]
[0 C^（-1）]

[A 0]
[B C]（分块下三角矩阵）的逆矩阵为
[A^（-1） 0]
[C^（-1）BA^（-1） C^（-1）]

这个是这道题的解法

追问

十分十分感谢！

追答

不用客气。。。(*^_^*)