Question

线性代数第二问的表达式怎么写？

Answer 1

A = (α1,α2,α3,β) =
[1 2 0 3]
[4 7 1 10]
[0 1 -1 b]
[2 3 a 4]
行初等变换为
[1 2 0 3]
[0 -1 1 -2]
[0 1 -1 b]
[0 -1 a -2]
行初等变换为
[1 2 0 3]
[0 1 -1 2]
[0 0 0 b-2]
[0 0 a-1 0]
行初等变换为
[1 2 0 3]
[0 1 -1 2]
[0 0 a-1 0]
[0 0 0 b-2]
（1） 当 a≠1 且 b≠2 时， r(α1,α2,α3,β)=r(A)=4,
β 不能由 α1,α2,α3 线性表示。
（2） 当 b=2 且 a≠1 时，α1,α2,α3 线性无关，
矩阵A即向量组进一步行初等变换为
[1 2 0 3]
[0 1 0 2]
[0 0 1 0]
[0 0 0 0]
行初等变换为
[1 0 0 -1]
[0 1 0 2]
[0 0 1 0]
[0 0 0 0]
此时 β=-α1+2α2；
当 b=2 且 a=1 时，α1,α2,α3 线性相关，
矩阵A即向量组进一步行初等变换为
[1 2 0 3]
[0 1 -1 2]
[0 0 0 0]
[0 0 0 0]
行初等变换为
[1 0 2 -1]
[0 1 -1 2]
[0 0 0 0]
[0 0 0 0]

此时 β=-α1+2α2.
故当 b=2， a为任意值时， β 可以由 α1,α2,α3 线性表示，β=-α1+2α2。

追问

朋友，麻烦你了，不过，你的答案不对，就是当a=1,b=2时，那一部分不对，你再仔细琢磨琢磨吧，现在这道题我已经弄明白了，还是谢谢你了

朋友，麻烦你了，不过，你的答案不对，就是当a=1,b=2时，那一部分不对，你再仔细琢磨琢磨吧，现在这道题我已经弄明白了，还是谢谢你了

追答

当 a=1，b=2 时，
α1=(1, 4, 0, 2)^T, α2=(2, 7, 1, 3)^T, β=(3, 10, 2, 4)^T
-α1+2α2=(3, 10, 2, 4)^T, β=-α1+2α2 看不出有什么错误啊？
尽管我也感到别扭，但上述式子确实成立啊?
此时 α3=(0, 1, -1, 1)^T， 但 β=-α1+2α2 +0α3， 与a的取值无关啊？
你既然明白，也可写出来交流嘛。

追问

是这样的，当a=1，b=2时，表达式不唯一，应该写成
β=-(1+2k)α1+(2+k)α2

追答

昨晚很晚了，回答提交后，也想起了因 α1,α2,α3 线性相关，
β 可用 α1,α2,α3 线性表出，但表达式不唯一。
例如 ① β=-α1+2α2 ， ② β=3α1-2α3，
③ β=(3/2)α2 -(1/2) α3, ④ β=(2/3)α1+(7/6) α2-(5/6)α3, ...... 都可以。
后两式均由①②线性叠加而来。
m ①+n②，得 (m+n) β = (3n-m)α1+2mα2 -2nα3, 当 m+n ≠0 时，
通式应为 β = [(3n-m)/(m+n)]α1+[2m/(m+n)]α2 -[2n/(m+n)]α3.
当 n=0 时为①，m=0 时为②，n=1，m=3 时为③，n=5，m=7 时为 ④，......
你提供的 β=-(1+2k)α1+(2+k)α2， 是不能包括以上所有表达式的 ！

追问

不好意思啊，当时没注意，打字时漏了一项，应该是
β=-(1+2k)α1+(2+k)α2+kα3,你看这个表达式还有错吗？

追答

这就对了。
事实上，(1+k/2) ①-(k/2)②，即得 β=-(1+2k)α1+(2+k)α2+kα3。