Question

已知椭圆M：x²/a²+y²/b²=1（a>b>0）的长轴长为4根号2，

且与椭圆x²/2+y²/4=1有相同的离心率，是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与M交于A,B俩点，且向量OA垂直向量OB，求圆方程与/AB/的取值范围

Answer 1

2a=4√2，a=2√2，
c/(2√2)=√2/2，∴c=2,b^2=4,
∴椭圆M:x^2/8+y^2/4=1.①
设圆的切线xcosu+ysinu=r,即y=(r-xcosu)/sinu,②
把②代入①*8(sinu)^2,得x^2*(sinu)^2+2[r^2-2rxcosu+x^2*(cosu)^2]=8(sinu)^2,
整理得[1+(cosu)^2]x^2-4rxcosu+2r^2-8+8(cosu)^2=0,
设交点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4rcosu/[1+(cosu)^2],x1x2=[2r^2+8-8(cosu)^2]/[1+(cosu)^2],
由②，y1y2=(r-x1cosu)(r-x2cosu)/(sinu)^2
=[r^2-r(x1+x2)cosu+x1x2*(cosu)^2]/(sinu)^2,
由OA⊥OB得x1x2+y1y2=0,
∴[2r^2+8-8(cosu)^2](sinu)^2+r^2*[1+(cosu)^2]-4r^2*(cosu)^2+[2r^2+8-8(cosu)^2]*(cosu)^2=0,
∴2r^2+8-8(cosu)^2+r^2*[1-3(cosu)^2]=0,
∴(3r^2+8)[1-(cosu)^2]=0,
∴cosu=土1.
∴不存在满足题设的圆.