Question

f(x)=x^2sinx 的在零处的n阶导数，用泰勒公式，复习全书上面的答案全是零，为什么？

Answer 1

　　f(x) = (x^2)sinx，
　　要用到求高阶导数的 Leibniz 公式
　　　(uv)^(n) =∑C(n,k)[u^(k)][v^(n-k)] （翻翻书）
注意到
　　　(x^2)' = 2x，(x^2)" = 2，(x^2)^(k) = 0 (k≥3)，
　　　(sinx)^(k) = sin(x+kπ/2) (k=0, 1, 2, …, n)，
则
　　　[(x^2)sinx]^(n)
　　= C(n,0)(x^2)[(sinx)^(n)]+C(n,1)(2x)[(sinx)^(n-1)]+C(n,2)*2*[(sinx)^(n-2)]+0
　　= (x^2)sin(x+nπ/2)+2nxsin[x+(n-1)π/2]+n(n+1)sin[x+(n-2)π/2]。

Answer 2

可看成复合函数求导：
f（x）=x^y(x)；

y(x)=2sin(x)

当n等于1。 f ‘（x）=x^[y(x)-1]*(2sin x)'=x^(2sin(x)-1)*(2cos x).
因为当x是0时，x^(2sin(x)-1)是0。再次对它求导还是0.。一直是0 。所以最终f的n阶倒数也是0.