Question

已知z是复数，z+2i， z 2-i 均为实数（i为虚数单位），且复数（z+ai） 2 在复平面上对应的点

已知z是复数，z+2i， z 2-i 均为实数（i为虚数单位），且复数（z+ai） 2 在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．

Answer 1

设复数z=a+bi（a，b∈R）， 由题意得z+2i=a+bi+2i=a+（b+2）i∈R， ∴b+2=0，即b=-2． 又∵ z 2-i = (a+bi)(2+i) 5 = 2a-b 5 + 2b+a 5 i∈R ， ∴2b+a=0，即a=-2b=4．∴z=4-2i． ∵（z+ai） 2 =（4-2i+ai） 2 =[4+（a-2）i] 2 =16-（a-2） 2 +8（a-2）i 对应的点在复平面的第一象限，横标和纵标都大于0， ∴ 16-(a-2 ) 2 ＞0 8(a-2)＞0 解得a的取值范围为2＜a＜6．