Question

如图，一次函数 分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y=﹣x 2 +bx+c过A、B两点． （1）求这个抛物线的解析

如图，一次函数 分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y=﹣x 2 +bx+c过A、B两点． （1）求这个抛物线的解析式；（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？（3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标．

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Answer 1

（1）y=﹣x 2 + x+2（2）当t=2时，MN有最大值4（3）D点坐标为（0，6），（0，﹣2）或（4，4）

解：（1）∵ 分别交y轴、x轴于A、B两点， ∴A、B点的坐标为：A（0，2），B（4，0）。 将x=0，y=2代入y=﹣x 2 +bx+c得c=2； 将x=4，y=0代入y=﹣x 2 +bx+c得0=﹣16+4b+2，解得b= 。 ∴抛物线解析式为：y=﹣x 2 + x+2。 （2）如图1， 设MN交x轴于点E，则E（t，0），BE=4﹣t。 ∵ ， ∴ME=BE?tan∠ABO=（4﹣t）×  =2﹣ t。 又∵N点在抛物线上，且x N =t，∴y N =﹣t 2 + t+2。 ∴ 。 ∴当t=2时，MN有最大值4。 （3）由（2）可知，A（0，2），M（2，1），N（2，5）． 如图2， 以A、M、N、D为顶点作平行四边形，D点的可能位置有三种情形。 （i）当D在y轴上时，设D的坐标为（0，a）， 由AD=MN，得|a﹣2|=4，解得a 1 =6，a 2 =﹣2， 从而D为（0，6）或D（0，﹣2）。 （ii）当D不在y轴上时，由图可知D为D 1 N与D 2 M的交点， 由D 1 （0，6），N（2，5）易得D 1 N的方程为y= x+6； 由D 2 （0，﹣2），M（2，1）D 2 M的方程为y= x﹣2。 由两方程联立解得D为（4，4）。 综上所述，所求的D点坐标为（0，6），（0，﹣2）或（4，4）。 （1）首先求得A、B点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式。 （2）求得线段MN的表达式，这个表达式是关于t的二次函数，利用二次函数的极值求线段MN的最大值。 （3）明确D点的可能位置有三种情形，如图2所示，不要遗漏．其中D 1 、D 2 在y轴上，利用线段数量关系容易求得坐标；D 3 点在第一象限，是直线D 1 N和D 2 M的交点，利用直线解析式求得交点坐标。