Question

在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点，现将正方形

在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点，现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y=x于点M，BC边交x轴于点N（如图）。（1）求边OA在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的度数；（3）设△MBN的周长为p，在正方形OABC旋转的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论。

Answer 1

解：（1）∵A点第一次落在直线y=x上时停止旋转， ∴OA旋转了45°， ∴OA在旋转过程中所扫过的面积为 ；
（2） ∵ MN∥AC， ∴∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45°， 　 ∴∠BMN=∠BNM， ∴BM=BN， 又∵BA=BC， ∴AM=CN， 又∵OA=OC，∠OAM=∠OCN=90°， ∴△OAM≌△OCN， ∴∠AOM=∠CON， ∴扒滚∠CON= ， ∴当MN和AC平行时，正方形OABC旋转的度数为22.5°；
（3）燃此磨p值无变化， 证明：延长B交y轴于E点，则∠AOE=45°-∠AOM，∠CON=90°-45°-∠AOM=45°-∠AOM， ∴∠AOE=∠CON， 又∵OA=OC，∠OAE=∠OCN=90°， ∴△OAE≌△OCN， ∴OE=ON，AE=CN， 又∵∠MOE=∠MON=45°，OM=OM， ∴△OME≌△皮斗OMN， ∴MN=ME=AM+AE， ∴MN=AM+CN， ∴p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4， ∴在正方形OABC旋转的过程中，p值无变化。