Question

如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ。

如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ。
（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论；（2）若PA：PB：PC=3：4：5，连接PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由。

Answer 1

解：（1）猜想：AP=CQ， 证明：在△ABP与△CBQ中， ∵AB=CB，BP=BQ，∠ABC+∠PBQ=60°， ∴ ， ∴△ABP≌△CBQ， ∴AP=CQ； （2）由PA：PB：PC=3：4：5，可设PA=3a，PB=4a，PC=5a， 连接PQ，在△PBQ中， 由于PB=BQ=4a，且∠PBQ=60°， ∴△PBQ为正三角形， ∴PQ=4a， 于是在△PQC中， ∵ ， ∴△PQC是直角三角形。