Question

已知抛物线y=x 2 -mx+m-2．（1）求证：此抛物线与x轴有两个不同的交点；（2）若m是整数，抛物线y=x 2 -mx

已知抛物线y=x 2 -mx+m-2．（1）求证：此抛物线与x轴有两个不同的交点；（2）若m是整数，抛物线y=x 2 -mx+m-2与x轴交于整数点，求m的值；（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为A，抛物线与x轴的两个交点中右侧交点为B．若m为坐标轴上一点，且MA=MB，求点M的坐标．

Answer 1

（1）证明：令y=0，则x 2 -mx+m-2=0． 因为△=m 2 -4m+8=（m-2） 2 +4＞0，（1分） 所以此抛物线与x轴有两个不同的交点．（2分） （2）因为关于x的方程x 2 -mx+m-2=0的根为x= m± (-m) 2 -4(m-2) 2 = m± (m-2 ) 2 +4 2 ， 由m为整数，当（m-2） 2 +4为完全平方数时，此抛物线与x轴才有可能交于整数点． 设（m-2） 2 +4=n 2 （其中n为整数），（3分） 则[n+（m-2）][n-（m-2）]=4 因为n+（m-2）与n-（m-2）的奇偶性相同， 所以 n+m-2=2 n-m+2=2 或 n+m-2=-2 n-m+2=-2 解得m=2． 经过检验，当m=2时，方程x 2 -mx+m-2=0有整数根． 所以m=2．（5分） （3）当m=2时， 此二次函数解析式为y=x 2 -2x=（x-1） 2 -1， 则顶点坐标为（1，-1）． 抛物线与x轴的交点为O（0，0）、B（2，0）． 设抛物线的对称轴与x轴交于点M 1 ，则M 1 （1，0）． 在直角三角形AM 1 O中，由勾股定理，得 AO= 2 ． 由抛物线的对称性可得， AB=AO= 2 ． 又因为 ( 2 ) 2 +( 2 ) 2 = 2 2 ，即OA 2 +AB 2 =OB 2 ． 所以△ABO为等腰直角三角形．（6分） 则M 1 A=M 1 B． 所以M 1 （1，0）为所求的点．（7分） 若满足条件的点M 2 在y轴上时， 设M 2 坐标为（0，y）， 过A作AN⊥y轴于N，连接AM 2 、BM 2 ，则M 2 A=M 2 B． 由勾股定理， 即M 2 A 2 =M 2 N 2 +AN 2 ；M 2 B 2 =M 2 O 2 +OB 2 ， 即（y+1） 2 +1 2 =y 2 +2 2 ． 解得y=1． 所以M 2 （0，1）为所求的点．（8分） 综上所述，满足条件的M点的坐标为（1，0）或（0，1）．