已知抛物线y=x 2 -mx+m-2.(1)求证:此抛物线与x轴有两个不同的交点;(2)若m是整数,抛物线y=x 2 -mx
已知抛物线y=x2-mx+m-2.(1)求证:此抛物线与x轴有两个不同的交点;(2)若m是整数,抛物线y=x2-mx+m-2与x轴交于整数点,求m的值;(3)在(2)的条...
已知抛物线y=x 2 -mx+m-2.(1)求证:此抛物线与x轴有两个不同的交点;(2)若m是整数,抛物线y=x 2 -mx+m-2与x轴交于整数点,求m的值;(3)在(2)的条件下,设抛物线的顶点为A,抛物线与x轴的两个交点中右侧交点为B.若m为坐标轴上一点,且MA=MB,求点M的坐标.
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(1)证明:令y=0,则x 2 -mx+m-2=0. 因为△=m 2 -4m+8=(m-2) 2 +4>0,(1分) 所以此抛物线与x轴有两个不同的交点.(2分) (2)因为关于x的方程x 2 -mx+m-2=0的根为x=
由m为整数,当(m-2) 2 +4为完全平方数时,此抛物线与x轴才有可能交于整数点. 设(m-2) 2 +4=n 2 (其中n为整数),(3分) 则[n+(m-2)][n-(m-2)]=4 因为n+(m-2)与n-(m-2)的奇偶性相同, 所以
或
解得m=2. 经过检验,当m=2时,方程x 2 -mx+m-2=0有整数根. 所以m=2.(5分) (3)当m=2时, 此二次函数解析式为y=x 2 -2x=(x-1) 2 -1, 则顶点坐标为(1,-1). 抛物线与x轴的交点为O(0,0)、B(2,0). 设抛物线的对称轴与x轴交于点M 1 ,则M 1 (1,0). 在直角三角形AM 1 O中,由勾股定理,得 AO=
由抛物线的对称性可得, AB=AO=
又因为 (
所以△ABO为等腰直角三角形.(6分) 则M 1 A=M 1 B. 所以M 1 (1,0)为所求的点.(7分) 若满足条件的点M 2 在y轴上时, 设M 2 坐标为(0,y), 过A作AN⊥y轴于N,连接AM 2 、BM 2 ,则M 2 A=M 2 B. 由勾股定理, 即M 2 A 2 =M 2 N 2 +AN 2 ;M 2 B 2 =M 2 O 2 +OB 2 , 即(y+1) 2 +1 2 =y 2 +2 2 . 解得y=1. 所以M 2 (0,1)为所求的点.(8分) 综上所述,满足条件的M点的坐标为(1,0)或(0,1). |
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