Question

（2012?湛江二模）已知椭圆C1：x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A、B，P是双曲线C2：x2a2?y2b2

（2012?湛江二模）已知椭圆C1：x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A、B，P是双曲线C2：x2a2?y2b2=1右支x轴上方的一点，连接AP交椭圆于点C，连接PB并延长交椭圆于点D．（1）若a=2b，求椭圆C1及双曲线C2的离心率；（2）若△ACD和△PCD的面积相等，求点P的坐标（用a，b表示）．

Answer 1

（1）∵a=2b，∴在椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

＝1（a＞b＞0）中，c2＝a2?b2＝

3

4

a2
∴椭圆C₁的离心率为e1＝

c

a

＝

3

2

；
在双曲线C₂中，c2＝a2+b2＝

5

4

a2，
∴双曲线C₂的离心率为e2＝

c

a

＝

5

2

；
（2）设P、C的坐标分别为（x₀，y₀），（x₁，y₁）
由题意知A，B的坐标分别为（-a，0），（a，0）
∵△ACD和△PCD的面积相等，
∴|AC|=|PC|
∴

?a+x0

2

＝x1，

0+y0

2

＝y1
代入椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

＝1得b2x02?2ab2x0+a2b2 +a2y02＝4