Question

设函数f（x）=x-a（x+1）ln（x+1），（x＞-1，a≥0）（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a=1时，若方程f

设函数f（x）=x-a（x+1）ln（x+1），（x＞-1，a≥0）（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a=1时，若方程f（x）=t在[?12，1]上有两个实数解，求实数t的取值范围；（Ⅲ）证明：当m＞n＞0时，（1+m）n＜（1+n）m．

Answer 1

（Ⅰ）f′（x）=1-aln（x+1）-a
①a=0时，f′（x）＞0∴f（x）在（-1，+∞）上是增函数    …（1分）
②当a＞0时，f（x）在(?1，e

1?a

a

?1]上递增，在[e

1?a

a

?1，+∞)单调递减．…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在[?

1

2

，0]上单调递增，在[0，1]上单调递减
又f(0)＝0，f(1)＝1?ln4，f(?

1

2

)＝?

1

2

+

1

2

ln2
∴f(1)?f(?

1

2

)＜0
∴当t∈[?

1

2

+

1

2

ln2，0)时，方程f（x）=t有两解   …（8分）
（Ⅲ）要证：（1+m）ⁿ＜（1+n）^m只需证nln（1+m）＜mln（1+n），
只需证：

ln(1+m)

m

＜

ln(1+n)

n

设g(x)＝

ln(1+x)

x

，(x＞0)，则g/(x)＝

x 1+x ?ln(1+x)

x2

＝

x?(1+x)ln(1+x)

x2(1+x)

…（10分）
由（Ⅰ）知x-（1+x）ln（1+x），在（0，+∞）单调递减    …（12分）
∴x-（1+x）ln（1+x）＜0，即g（x）是减函数，而m＞n
∴g（m）＜g（n），故原不等式成立．          …（14分）