已知a为常数,a∈R,函数f(x)=(x-1)lnx,g(x)=-13x3+2?a2x2+(a-1)x.(1)求函数f(x)的最值;
已知a为常数,a∈R,函数f(x)=(x-1)lnx,g(x)=-13x3+2?a2x2+(a-1)x.(1)求函数f(x)的最值;(2)若a>0,函数g′(x)为函数g...
已知a为常数,a∈R,函数f(x)=(x-1)lnx,g(x)=-13x3+2?a2x2+(a-1)x.(1)求函数f(x)的最值;(2)若a>0,函数g′(x)为函数g(x)的导函数,g′(x)≤k(a3+a)恒成立,求k的取值范围;(3)当a≤时,求证:h(x)=f(x)+g(x)在区间(0,1]上的单调递减.
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(1)由题意可知f(x)的定定义域为{x|x>0},f′(x)=1-
+lnx,且f′(1)=0
当0<x<1,时,f′(x)<0,当x>1时,f′(x)>0
所以f(x)在x=1处取的极小值,且为函数的最小值,函数无最大值.
所以f(x)min=f(1)=0
(2)依题意g′(x)=-x2+(2-a)x+a-1,在对称轴x=1-
处
取得最大值g′(x)max=
,要使不等式g′(x)≤k(a3+a)恒成立,只须
)≤k(a3+a)恒成立,
由a>0,k≥
=
,又
≤
,
∴k≥
(3)h(x)=f(x)+g(x)=(x-1)lnx-
x3+
x2+(a-!)x,
h′(x)=-x2+(2?a)x+a?
+lnx,
设m(x)=-x2+(2?a)x+a?
+lnx,m′(x)=-2x+
+
+2-a,
易知m′(x)在(0,1】减函数,m(x)≥m(1)=2-a,
当a≤2时,m′(x)≥0,m(x)在(0,1】增函数.
∵,m(1)=0,∴m(x)≤0在(0,1】上恒成立,h′(x)≤0在(0,1】上恒成立.
h(x)在区间(0,1]上的单调递减.
1 |
x |
当0<x<1,时,f′(x)<0,当x>1时,f′(x)>0
所以f(x)在x=1处取的极小值,且为函数的最小值,函数无最大值.
所以f(x)min=f(1)=0
(2)依题意g′(x)=-x2+(2-a)x+a-1,在对称轴x=1-
a |
2 |
取得最大值g′(x)max=
a2 |
4 |
a2 |
4 |
由a>0,k≥
a2 |
4(a3+a) |
1 | ||
4(a+
|
1 | ||
4(a+
|
1 |
8 |
∴k≥
1 |
8 |
(3)h(x)=f(x)+g(x)=(x-1)lnx-
1 |
3 |
2?a |
2 |
h′(x)=-x2+(2?a)x+a?
1 |
x |
设m(x)=-x2+(2?a)x+a?
1 |
x |
1 |
x2 |
1 |
x |
易知m′(x)在(0,1】减函数,m(x)≥m(1)=2-a,
当a≤2时,m′(x)≥0,m(x)在(0,1】增函数.
∵,m(1)=0,∴m(x)≤0在(0,1】上恒成立,h′(x)≤0在(0,1】上恒成立.
h(x)在区间(0,1]上的单调递减.
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