Question

如图，A、B是⊙O上的两个点，已知P为平面内一点，（P、A、B三点不在同一条直线上）．（1）若点P在⊙O上，

如图，A、B是⊙O上的两个点，已知P为平面内一点，（P、A、B三点不在同一条直线上）．（1）若点P在⊙O上，⊙O的半径为1．①当∠APB=45°时，AB的长度为22，②当AB=1时，∠APB=______°；（2）若点P不在⊙O上，直线PA、PB交⊙O于点C、D（点C与点A、点D与点B均不重合），连接AD，设∠CAD=α，∠ADB=β，试用α、β表示∠APB（请直接写出答案，并画出示意图）．

Answer 1

（1）①∵点P在⊙O上，∠APB=45°，
∴∠AOB=90°，
∵OA=OB=1，
∴AB=

2

；

②∵AB=1，OA=OB=1，
∴△OAB是等边三角新，
∴∠AOB=90°，
若点P在优弧

AB

上，则∠APB=30°，
若点P在劣弧

AB

上，则∠APB=180°-30°=150°；
综上可得：∠APB=30°或150°；
故答案为：①

2

；②30°或150°；

（2）①P在圆外时，
如图①，若点C、D分别在线段PA、PB上，则∠APB=β-α；
如图②，若点C在线段PA的延长线上，点D在线段PB上，则∠APB=α+β-180°；
如图③，若点C在线段PA上，点D在线段PB的延长线上，则∠APB=180°-α-β；
如图④，若点C、D分别在线段PA、PB的延长线上，则∠APB=α-β；
②P在圆内时，如图⑤，∠APB=α+β．