Question

（2005?济南）如图，已知平行四边形ABCD中，E为AD的中点，CE的延长线交BA的延长线于点F．（1）求证：CD=F

（2005?济南）如图，已知平行四边形ABCD中，E为AD的中点，CE的延长线交BA的延长线于点F．（1）求证：CD=FA；（2）若使∠F=∠BCF，平行四边形ABCD的边长之间还需再添加一个什么条件？请你补上这个条件，并进行证明（不要再增添辅助线）．

Answer 1

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB．
又∵CE的延长线交BA的延长线于点F，
∴∠CDA=∠DAF．
∵E是AD中点，
∴DE=AE．
∵∠CED=∠AEF，
∴△CDE≌△AEF．
∴CD=AF．

（2）要使∠F=∠BCF，需平行四边形ABCD的边长之间是2倍的关系，即BC=2AB，
证明：∵由（1）知，△CED≌△FEA，
∴CD=AF．
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB．
∴AB=AF，即BF=2AB．
∵BC=2AB．
∴BF=BC，
∴∠F=∠BCF．