Question

观察下列勾股数组：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…a、b、c．你能发现什么规律，根据你发

观察下列勾股数组：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…a、b、c．你能发现什么规律，根据你发现的规律，请写出：（1）当a=19时，则b、c的值是多少（2）当a=2n+1时，求b、c的值．你能证明所发现的规律吗．

Answer 1

（1）当a=19时，设b=k，则c=k+1，观察有如下规律：19²+k²=（k+1）²?k=180，故b=180，c=181．
（2）当a=2n+1时，设b=k，则c=k+1，根据勾股定理：a²+b²=c²?（2n+1）²+k²=（k+1）²?k=2n（n+1），即b=2n（n+1），
c=2n（n+1）+1．
证明：a²+b²=（2n+1）²+[2n（n+1）]²=4n⁴+8n³+8n²+4n+1，[2n（n+1）+1]²=4n⁴+8n³+8n²+4n+1，所以a²+b²=c²，
所以a、b、c组成的三角形是直角三角形．