Question

设坐标原点为O，抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A，B两点，则OA?OB=-34-34

设坐标原点为O，抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A，B两点，则OA?OB=-34-34．

Answer 1

法一：抛物线y²=2x的焦点F（

1

2

，0 ），
当AB的斜率不存在时，可得A（

1

2

，1），B（

1

2

，-1），
∴

OA

?

OB

=（

1

2

，1）?（

1

2

，-1）=

1

4

-1=-

3

4

，
法二：由题意知，抛物线y²=2x的焦点坐标为（

1

2

，0），∴直线AB的方程为y=k（x-

1

2

），
由

y2＝2x y＝k(x? 1 2 )

得k²x²-（k²+2）x+

1

4

k²=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则 x1+x2＝

k2+ 2

k2

，x1?x2＝

1

4

，y₁?y₂=k（x₁-

1

2

）?k（x₂-

1

2

）=k²[x₁?x₂-（x₁+x₂）+

1

4

]
∴

OA

?

OB

=x₁?x₂+y₁?y₂=

k2+2

k2

+k2(

1

4

?

k2+2

4k2

+

1

4

) ＝?

3

4

，
故答案为：-

3

4

．