Question

设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，点A(0，2)，线段FA的中点在抛物线上．设动直线l：y=kx+m与抛物线相切

设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，点A(0，2)，线段FA的中点在抛物线上．设动直线l：y=kx+m与抛物线相切于点P，且与抛物线的准线相交于点Q，以PQ为直径的圆记为圆C．（1）求p的值；（2）试判断圆C与x轴的位置关系；（3）在坐标平面上是否存在定点M，使得圆C恒过点M？若存在，求出M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）利用抛物线的定义得F(

p

2

，0)，
故线段FA的中点的坐标为(

p

4

，

2

2

)，代入方程y²=2px，
得2p×

p

4

＝

1

2

，解得p=1；
（2）由（1）得抛物线的方程为y²=2x，从而抛物线的准线方程为x＝?

1

2

，
由

y2＝2x y＝kx+m

，得方程

k

2

y2?y+m＝0，
由直线与抛物线相切，得

k≠0 △＝0

?

k≠0 m＝ 1 2k

，
且y＝

1

k

，从而x＝

1

2k2

，即P(

1

2k2

，

1

k

)，
由

y＝kx+ 1 2k x＝? 1 2

，解得Q(?

1

2

，

1?k2

2k

)，
∴PQ的中点C的坐标为C(

1?k2

4k2

，

3?k2

4k

)．
圆心C到x轴距离d2＝(

3?k2

4k

)2，|PQ|2＝(

1+k2

2k2

)2+(

1+k2

2k

)2，
∵(

1

2

|PQ|)2?d2＝

1

4

[(

1+k2

2k2

)2+(

1+k2

2k

)2]?(

3?k2

4k

)2=(

3k2?1

4k2

)2
∵k≠0，
∴当k＝±

3

3

时，(

1

2

|PQ|)2?d2＝0，圆C与x轴相切，
当k≠±

3

3

时，(

1

2

|PQ|)2