Question

如图，在△ABC中，AC=BC，∠B=30°，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一动点，过点A作AF ∥ BE，与线段ED

如图，在△ABC中，AC=BC，∠B=30°，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一动点，过点A作AF ∥ BE，与线段ED的延长线交于点F，连接AE、CF．（1）求证：AF=CE；（2）若CE= 1 2 BC，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论；（3）若CE=BC，求证：EF⊥AC．

Answer 1

（1）证明：∵AF ∥ BE， ∴∠FAD=∠ECD，∠AFD=∠CED， 在△ADF和△CDE中， ∠FAD=∠ECD ∠AFD=∠CED AD=CD ， ∴△ADF≌△CDE， ∴AF=CE． （2）四边形AFCE是矩形． 证明：∵AF ∥ BE，AF=CE， ∴四边形AFCE是平行四边形． ∴AD=DC，ED=DF． ∵AC=BC， ∴∠BAC=∠B=30°， ∴∠ACE=60°． ∵CE= 1 2 BC，CD= 1 2 AC， ∴CE=CD， ∴△DCE为等边三角形， ∴CD=ED， ∴AC=EF， ∴四边形AFCE是矩形． （3）证明：∵CE=BC，BC=AC， ∴CE=AC． ∵∠ACE=60°， ∴△ACE为等边三角形，∴CE=AE． ∵四边形AFCE是平行四边形， ∴四边形AFCE是菱形． ∴EF⊥AC．