Question

设4阶矩阵A=（α1，α2，α3，α4），已知齐次方程组AX=0的通解为c（1，-2，1，0）T，c任意．证明：①α1

设4阶矩阵A=（α1，α2，α3，α4），已知齐次方程组AX=0的通解为c（1，-2，1，0）T，c任意．证明：①α1，α2，α3线性相关；②α4不能用α1，α2，α3线性表示；③α1，α2线性无关；④α1，α2，α4线性无关．

Answer 1

证明：①由题意，Ac（1，-2，1，0）^T=c[α₁-2α₂+α₃]=0，因此α₁，α₂，α₃线性相关．
②假设α₄能用α₁，α₂，α₃线性表示，则存在实数k_i（i=1，2，3），使得
α₄=k₁α₁+k₂α₂+k₃α₃
即k₁α₁+k₂α₂+k₃α₃-α₄=0
即A(k1，k2，k3，?1)T＝0
∴(k1，k2，k3，?1)T是AX=0的解
∴存在c，使得
(k1，k2，k3，?1)T=c（1，-2，1，0）^T，
∴-1=0
矛盾
∴α₄不能用α₁，α₂，α₃线性表示
③假设α₁，α₂线性相关，则存在不全为零的实数k₁、k₂，使得
k₁α₁+k₂α₂=0
∴(k1，k2，0，0)T是AX=0的解
∴存在实数c，使得
(k1，k2，0，0)T=c（1，-2，1，0）^T，
∴1=0矛盾
∴α₁，α₂线性无关
④假设α₁，α₂，α₄线性相关，则存在不全为零的实数k₁、k₂、k₄，使得
k₁α₁+k₂α₂+k₄α₄=0
∴(k1，k2，0，K4)T是AX=0的解
∴存在实数c，使得
(k1，k2，0，k4)T=c（1，-2，1，0）^T，
∴1=0矛盾
∴α₁，α₂，α₄线性无关