Question

已知直线l：y=ax+1与双曲线C：3x 2 -y 2 =1相交于A、B两点．（1）求实数a的取值范围；（2）当实数a取何值

已知直线l：y=ax+1与双曲线C：3x 2 -y 2 =1相交于A、B两点．（1）求实数a的取值范围；（2）当实数a取何值时，以线段AB为直径的圆经过坐标原点．

Answer 1

解（1）联立方程组 3 x 2 - y 2 =1 y=ax+1 ，得(3- a 2 ) x 2 -2ax-2=0 ．  …（2分） ∵直线l与曲线C有两个交点A、B， ∴ 3- a 2 ≠0 △=4 a 2 -4(3- a 2 )(-2)＞0 ，即 a 2 ≠3 a 2 ＜6 ．   喊和销 棚枝        …（4分） ∴实数a的取值范围是 - 6 ＜a＜ 6 且a≠± 3 ．      …（5分） （2）设点A、B的坐标为（x 1 ，y 1 ）、（x 2 ，y 2 ）．            …（6分） 由（1）可知， x 1 + x 2 = 2a 3- a 2 x 1 x 2 = -2 3- a 2 ． ∵以线段AB为直径的圆经过原点， ∴ OA ⊥ OB ，即x 1 x 2 +y 1 y 2 =0．                         …（8分） 又y 1 =ax 1 +1，y 2 =ax 2 +1， ∴x 1 x 2 +（ax 1 +1）（ax 2 +1）=0， 即 ( a 2 +1)? -2 3- a 2 +a? 2a 3- a 2 +1=0 ，解得a=±1（都满足（1）求出的条郑游件）    …（11分） ∴a=±1时，以线段AB为直径的圆经过坐标原点．    …（12分）