Question

如图，AB是半圆O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点C，BD⊥PD，垂足为D，连接BC．（1）求证：BC平分

如图，AB是半圆O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点C，BD⊥PD，垂足为D，连接BC．（1）求证：BC平分∠PDB；（2）求证：BC2=AB?BD；（3）若PA=4，PC=43，求BD的长．

Answer 1

（1）证明：连接OC，
∵PD为圆O的切线，
∴OC⊥PD，
∵BD⊥PD，
∴OC∥BD，
∴∠OCB=∠CBD，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠CBD=∠OBC，
则BC平分∠PBD；

（2）证明：连接AC，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠ACB=∠CDB=90°，∠ABC=∠CBD，
∴△ABC∽△CBD，
∴

AB

CB

＝

BC

BD

，
即BC²=AB?BD；

（3）解：∵PC为圆O的切线，PAB为割线，
∴PC²=PA?PB，
∵PA=4，PC=4

3

，
∴48=4PB，
解得：PB=12，
∴AB=PB-PA=12-4=8，
∴OC=4，PO=PA+AO=8，
∵△OCP∽△BDP，
∴

OC

BD

＝

OP

BP

，
即

4

BD

＝

8

12

，
则BD=6．