Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，满足an+Sn=2n．（Ⅰ）证明：数列{an-2}为等比数列，并求出an；（Ⅱ）设bn=（

已知数列{an}的前n项和为Sn，满足an+Sn=2n．（Ⅰ）证明：数列{an-2}为等比数列，并求出an；（Ⅱ）设bn=（2-n）（an-2），求{bn}的最大项．

Answer 1

（Ⅰ）证明：由a₁+s₁=2a₁=2得a₁=1；
由a_n+S_n=2n得
a_n+1+S_n+1=2（n+1）
两式相减得2a_n+1-a_n=2，即2a_n+1-4=a_n-2，即a_n+1-2=

1

2

（a_n-2）
是首项为a₁-2=-1，公比为

1

2

的等比数列．故a_n-2=-(

1

2

)n?1，故a_n=2-(

1

2

)n?1，．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知bn＝(2?n)?(?1)?(

1

2

)n?1＝(n?2)?(

1

2

)n?1
由bn+1?bn＝

n?1

2n

?

n?2

2n?1

＝

n?1?2n+4

2n

＝

3?n

2n

≥0得n≤3
由b_n+1-b_n＜0得n＞3，所以b₁＜b₂＜b₃=b₄＞b₅＞…＞b_n
故b_n的最大项为b3＝b4＝

1

4

．