Question

已知正项数列{an}的前n项和为Sn，Sn是14与(an+1)2的等比中项．（1）求证：数列{an}是等差数列；（2）若b1

已知正项数列{an}的前n项和为Sn，Sn是14与(an+1)2的等比中项．（1）求证：数列{an}是等差数列；（2）若b1=a1，且bn=2bn-1+3，求数列{bn}的通项公式．

Answer 1

（1）证明：∵

Sn

是

1

4

与(an+1)2的等比中项，
∴S_n=

1

4

(an+1)2，
∴n≥2时，Sn?1＝

1

4

(an?1+1)2，
两式相减可得a_n=

1

4

(an+1)2-

1

4

(an?1+1)2，
化简可得（a_n-a_n-1-2）（a_n+a_n-1）=0，
∵a_n+a_n-1＞0，
∴a_n-a_n-1=2，
∵S1＝

1

4

(a1+1)2，∴a₁=1，
∴数列{a_n}以1为首项，以2为公差的等差数列；
（2）解：∵b_n=2b_n-1+3，
∴b_n+3=2（b_n-1+3），
∵b₁=a₁=1，∴b₁+3=4，
∴数列{b_n+3}是以4为首项，2为公比的等比数列，
∴b_n+3=4?2^n-1=2ⁿ⁺¹，
∴b_n=2ⁿ⁺¹-3．