Question

已知a、b、c是不全相等的正数，且0＜x＜1．求证：logxa+b2+logxb+c2+logxa+c2＜logxa+logxb+logxc

已知a、b、c是不全相等的正数，且0＜x＜1．求证：logxa+b2+logxb+c2+logxa+c2＜logxa+logxb+logxc．

Answer 1

证明：要证log_x

a+b

2

+log_x

b+c

2

+log_x

a+c

2

＜log_xa+log_xb+log_xc，
只需证log_x（

a+b

2

?

b+c

2

?

a+c

2

）＜log_x（abc）．
由已知0＜x＜1，得只需证

a+b

2

?

b+c

2

?

a+c

2

＞abc．
由公式

a+b

2

≥

ab

＞0，

b+c

2

≥

bc

＞0，

a+c

2

≥

ac

＞0．
又∵a，b，c是不全相等的正数，
∴

a+b

2

?

b+c

2

?

a+c

2

＞

ab

?

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