Question

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），其左、右焦点分别为F1（-c，0）、F2（c，0），且a，b，c成等比数列

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），其左、右焦点分别为F1（-c，0）、F2（c，0），且a，b，c成等比数列．（1）求椭圆的离心率e的值．（2）若椭圆C的上顶点、右顶点分别为A、B，求证：∠F1AB=90°．

Answer 1

解答：（1）解：∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
其左、右焦点分别为F₁（-c，0）、F₂（c，0），
且a，b，c成等比数列．
∴b²=ac及b²=a²-c²，
∴ac=a²-c²，
∴e=1-e²，
解得e=

5 -1

2

，e=

-1- 5

2

（舍），
∴e=

5 -1

2

．
（2）证明：∵椭圆C的上顶点、右顶点分别为A、B，
∴A（0，b），B（a，0），
∵F₁（-c，0），
∴

AF1

=(-c，-b)，

AB

=(a，-b)，
∴

AF1

?

AB

=-ac+b2=0，
故∠F₁AB=90°．