Question

已知函数f（x）=（x2+mx+n）ex，m、n∈R：（1）若f（x）在x=0处取到极值，试讨论f（x）的单调性；（2）若

已知函数f（x）=（x2+mx+n）ex，m、n∈R：（1）若f（x）在x=0处取到极值，试讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）无极值，且limn→0f(x)?nx=4，m的范围是A，n的范围是B，求A∪B．

Answer 1

（Ⅰ）f'（x）=（2x+m）?e^x+（x²⁺mx+n）?e^x=[x²+（m+2）x+m+n]e^x，
由题意得f'（0）=0，得m+n=0，即f'（x）=[x²+（m+2）x]e^x，
当m＜-2时，x∈（-∞，0），（-m-2，+∞）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当x∈（0，-m-2）时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当m＞-2时，函数f（x）在（-∞，-m-2），（0，+∞）单调递增；在（-m-2，0）上单调递减，
当m=-2时，不合题意．
（2）由题意△=（m+2）²-4（m+n）≤0，即m²-4n+4≤0，
∵

lim

n→0

f(x)?n

x

=4，即

lim

x→0

f(x)?f(0)

x?0

＝4，
f′（0）=4，
∴m+n=4，即n=4-m，
m²≤4（4-m-1），即m²+4m-12≤0，
∴m∈[-6，2]，n∈[2，10]
∴A∪B=[-6，10]．