Question

如图，在?ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过点A作AG∥DB交CB的延长线于点G．（1）求证：

如图，在?ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过点A作AG∥DB交CB的延长线于点G．（1）求证：DE∥BF；（2）若∠G=90°，求证：四边形DEBF是菱形

Answer 1

（1）证明见解析；（2）证明见解析．

试题分析：（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，AB=CD，又由E、F分别为边AB、CD的中点，易得DF∥BE，DF=BE，即可判定四边形DEBF为平行四边形，则可证得DE∥BF； （2）由∠G=90°，AG∥DB，易证得△DBC为直角三角形，又由F为边CD的中点，即可得BF= DC=DF，则可证得：四边形DEBF是菱形． 试题解析：：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD， ∵E、F分别为AB、CD的中点， ∴DF="1" 2 DC，BE="1" 2 AB， ∴DF∥BE，DF=BE， ∴四边形DEBF为平行四边形， ∴DE∥BF； （2）∵AG∥BD， ∴∠G=∠DBC=90°， ∴△DBC为直角三角形， 又∵F为边CD的中点． ∴BF= DC=DF， 又∵四边形DEBF为平行四边形， ∴四边形DEBF是菱形．