Question

已知关于x的方程（1-a）x 2 +（a+2）x-4=0，a∈R，求：（Ⅰ）方程有两个正根的充要条件（Ⅱ）方程至少有

已知关于x的方程（1-a）x 2 +（a+2）x-4=0，a∈R，求：（Ⅰ）方程有两个正根的充要条件（Ⅱ）方程至少有一个正根的充要条件．

Answer 1

首先方程有二实根的充要条件是： 1-a≠0   △= (a+2) 2 +16(1-a)≥0   解之得：a≥10或a≤2且a≠1 设方程的二实根为x 1 ，x 2 ，则 x 1 + x 2 = a+2 a-1 ， x 1 x 2 = 4 a-1 （Ⅰ）x 1 ，x 2 均为正根 ? a≠1       a≤2或a≥10       x 1 + x 2 = a+2 a-1 ＞0       x 1 x 2 = 4 a-1 ＞0       解之得：1＜a≤2或a≥10 （Ⅱ）①由（Ⅰ）知，当a≥10或1＜a≤2时，方程有两个正根 ②方程有一正根，一负根 ? a≠1     a＜2或a＞10     x 1 x 2 = 4 a-1 ＜0     解得：a＜1 ③当 a=1时，方程化为3x-4=0，有一个正根x= 4 3 综合①②③得，方程至少有一个正根的充要条件是q≤2或q≥10