Question

如图，△ABC内接于⊙O，CA=CB，CD∥AB且与OA的延长线交与点D。 （1）判断CD与⊙O的位置关系

如图，△ABC内接于⊙O，CA=CB，CD∥AB且与OA的延长线交与点D。 （1）判断CD与⊙O的位置关系并说明理由；（2）若∠ACB=120°，OA=2，求CD的长。

Answer 1

解：（1）CD与⊙O的位置关系是相切，理由如下： 作直径CE，连结AE ∵CE是直径， ∴∠EAC=90°， ∴∠E+∠ACE=90°， ∵CA=CB， ∴∠B=∠CAB， ∵AB∥CD， ∴∠ACD=∠CAB， ∵∠B=∠E，∠ACD=∠E， ∴∠ACE+∠ACD=90°，即∠DCO=90°， ∴OC⊥DC， ∴CD与⊙O相切；
（2）∵CD∥AB，OC⊥DC， ∴OC⊥AB，又∠ACB=120°， ∴∠OCA=∠OCB=60°， ∵OA=OC， ∴△OAC是等边三角形， ∴∠DOA=60°， ∴在Rt△DCO中， ， ∴DC= OC= OA=2 。