Question

（2012?郴州）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（4，0），B（2，3），C（0，3）三点．（1）求抛物线的解

（2012?郴州）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（4，0），B（2，3），C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式及对称轴．（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使得MA+MB的值最小，并求出点M的坐标．（3）在抛物线上是否存在一点P，使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵抛物线y=ax²+bx+c经过A（4，0），B（2，3），C（0，3）三点，
∴

16a+4b+c＝0 4a+2b+c＝3 c＝3

，解得a=?

3

8

，b=

3

4

，c=3，
∴抛物线的解析式为：y=?

3

8

x²+

3

4

x+3；
其对称轴为：x=-

b

2a

=1．

（2）由B（2，3），C（0，3），且对称轴为x=1，
可知点B、C是关于对称轴x=1的对称点．
如答图1所示，连接AC，交对称轴x=1于点M，连接MB，
则MA+MB=MA+MC=AC，根据两点之间线段最短可知此时MA+MB的值最小．
设直线AC的解析式为y=kx+b，∵A（4，0），C（0，3），
∴

4k+b＝0 b＝3

，解得k=?

3

4

，b=3，
∴直线AC的解析式为：y=?

3

4

x+3，
令x=1，得y=

9

4

，
∴M点坐标为（1，

9

4

）．

（3）结论：存在．
如答图2所示，在抛物线上有两个点P满足题意：
①若BC∥AP₁，此时梯形为ABCP₁．
由B（2，3），C（0，3），可知BC∥x轴，则x轴与抛物线的另一个交点P₁即为所求．
抛物线解析式为：y=?

3

8

x²+

3

4

x+3，令y=0，解得x₁=-2，x₂=4，
∴P₁（-2，0）．
∵P₁A=6，BC=2，
∴P₁A≠BC，
∴四边形ABCP₁为梯形；<