Question

如图所示，半径R的光滑圆弧轨道固定在竖直平面内，轨道的一个端点B和圆心O的连线与水平方向间的夹角θ=30

如图所示，半径R的光滑圆弧轨道固定在竖直平面内，轨道的一个端点B和圆心O的连线与水平方向间的夹角θ=30°，另一端点C为轨道的最低点，过C点的轨道切线水平．C点右侧的光滑水平面上紧挨C点放置一质量为m、长为3R的木板，上表面与C点等高，木板右端固定一弹性挡板（即小物块与挡板碰撞时无机械能损失）．质量为m的物块（可视为质点）从空中A点以v 0＝gR的速度水平抛出，恰好从轨道的B端沿切线方向进入轨道．已知物块与木板间的动摩擦因数为μ=0.5．试求：（1）物块经过轨道上B点时的速度的大小；（2）物块经过轨道上C点时对轨道的压力；（3）木板能获得的最大速度．

Answer 1

（1）物块经过轨道上B点时的速度的大小：v_B=

v0

sinθ

=2

gR

；
（2）由B到C机械能守恒：mgR（1+sinθ）=

1

2

mv_c²-

1

2

mv_B²
得：v_c=

7gR

C点：N-mg=m

vc2

R

得：N=8mg
根据牛顿第三定律：N′=N=8mg；
（3）假设物块与弹性挡板相碰前已相对静止，则二者共速时木板速度最大，设物块与木板相对静止时的速度为v_共，选v_c方向为正，则有：
mv_c=2mv_共 
根据能量有：μmgS_相对=

1

2

mv_c²-

1

2

?2mv_共² 
由以上两式得：S_相对=3.5R，说明不板不够长，故二者碰后瞬间木板速度最大．
设碰后瞬间物块与木板速度分别为v₁、v₂，则：
mv_c=mv₁+mv₂ 
μmg?3R=

1

2

mv_c²-（

1

2

mv₁²+

1

2

mv₂²） 
由以上两式得：v₂=

7 ±1

2

gR

  
其中v₂=

7 +1

2

gR

 为碰后速度，即木板的最大速度．
答：（1）物块经过轨道上B点时的速度的大小2

gR

；
（2）物块经过轨道上C点时对轨道的压力为8mg；
（3）木板能获得的最大速度为

7 +1

2

gR

．