Question

已知函数f(x)=x2+bx+c满足对任意x∈R都有f(2+x)=f(2-x),设x1,x2(x1≠x2)上任意两个实数,

则[f(x1 )-f(x2)]/(x1-x2 )_____0,(填>,<,=) 请详细解答，多谢！

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Answer 1

（1）证明：对任意x1、x2∈R,∵a＞0,\r\n\r\n∴〔f(x1)+f(x2)〕-2f()=ax12+x1+ax22+x2-2〔a()2+）〕\r\n\r\n=ax12+ax22-a(x12+x22+2x1x2)=a(x1-x2)2≥0.\r\n\r\n∴f()≤〔f(x1)+f(x2)〕.\r\n\r\n∴函数f(x)是下凸函数.\r\n\r\n(2)解：由|f(x)|≤1-1≤f(x)≤1-1≤ax2+x≤1. (*)\r\n\r\n当x=0时，a∈R;当x∈(0,1)时，(*)式即恒成立,即\r\n\r\n恒成立.\r\n\r\n∵x∈(0,1],∴≥1.\r\n\r\n∴当=1时，-(+)2+取得最大值-2；当=1时，(-)2-取得最小值0.\r\n\r\n∴-2≤a≤0,结合a≠0，得-2≤a＜0.\r\n\r\n综上，a的范围是〔-2,0).

Answer 2

对称轴为x=2 所以在（-无穷，2）上递减 所以小于0