Question

已知如图,直线AB:y=-x+8与x轴,y轴分别交与点B,A,过点B作直线AB的垂线交y轴与点D

D．
（1）求BD两点确定的直线解析式；
（2）若点C是x轴负半轴上的任意一点，过点C作AC的垂线与BD相交于点E，请你判断：线段AC与CE的大小关系并证明你的判断；
（3）若点G为第二象限内任一点，连接EG，过点A作AF⊥FG于F，连接CF，当点C在x轴的负半轴上运动时，∠EFC的度数是否发生变化？若不变，请求出∠EFC的度数；若变化，请求出其变化范围．

Answer 1

（1）解：∵A（0，8），B（8，0），
∴OA=OB=8，
∴∠ABO=45°，
又∵DB⊥AB，
∴∠OBD=90°-∠ABO=45°，
又∵∠AOB=∠DOB=90°，
在△AOB和△DOB中
∵
∠ABO=∠DBOBO=BO∠AOB=∠BOD
，
∴△AOB≌△DOB（ASA），
∴OD=OA=8，
∴D（0，-8），
设BD的解析式为y=kx+b，
∴
0=8k+b-8=b
，
∴
k=1b=-8
．
∴BD的解析式为y=x-8．
（2）AC=CE，
证明：过点C作CF⊥BC，交BA的延长线于点F，
∵AC⊥CE，
∴∠ACE=∠BCF=90°，
又∵∠OBD=45°，
∴∠CFB=∠OBD=45°，
在△ACF和△ECB中
∵
BC=FC∠CFB=∠ABCBC=BC
∴△ACF≌△ECB（SAS），
∴AC=CE．
（3）∠EFC的度数不变，∠EFC=45°，
证明：过C作CH⊥CF交EF于H，
∵AC⊥CE，
∴∠FCH=∠ACE=90°，
∴∠FCA=∠HCE，
又∵AF⊥EF，
∴∠AFE=∠ACE=90°，
∴∠FAC=∠HEC，
在△AFC和△HCE中
∵
∠FCA=∠HCEAC=EC∠FAC=∠HEC
∴△AFC≌△HCE（ASA），
∴CF=CH，
又∵∠FCH=90°，
∴∠EFC=45°．