Question

如图，矩形OABC在平面直角坐标系内（o为坐标原点），点A在x轴上，点C在y轴上

点B的坐标分别为（-2，2倍根号3），点E是BC的中点，点H在OA上，且AH=1/2，过点H且平行于y轴的HG与EB交于点G，现将矩形折叠，使顶点C落在HG上，并与HG上的点D重合，折痕为EF，点F为折痕与y轴的交点 问：(1)求∠CEF的度数和点D的坐标(2)求折痕EF所在直线的函数表达式(3)若点P在直线EF上，当△PFD为等腰三角形时，请问满足条件的点P有几个？请求出点P的坐标，并写出解答过程。

Answer 1

⑴因矩形OABC的OA、OC与坐标轴重合，B点坐标为（-2，2*3^（1/2）） 则OA=BC=2，OC=AB=2*3^（1/2） E是BC中点，则CE=BE=BC/2=1 AH=1/2 HG‖y轴，则BG=AH， EG=BE-BG=1-1/2=1/2 因△DEF为Rt△CEF折叠而来，所以△DEF为Rt△，且 △DEF≌△CEF ∠DEF=∠CEF，DE=CE=1 在Rt△DEG中，cos∠DEG=EG/DE=(1/2)/1=1/2,则∠DEG=60° 又∠DEF=∠CEF, ∴∠CEF=(180°-∠DEG)/2=(180°-60°)/2=60° D点横坐标为：1/2-2=-3/2 纵坐标为：2*3^(1/2)-1 即其坐标为（-3/2，2*3^(1/2)-1） ⑵由⑴知∠CEF=60°，即折痕EF与x轴的夹角为：180°-60°=120° 设其直线的函数为：y=kx+b 则k=tan120°=-3^(1/2) 因直线过E点（-1，2*3^(1/2)） 代入直线方程，2*3^(1/2)=-3^(1/2)*（-1）+b,得b=3^(1/2) 所以直线EF的函数为：y=-3^(1/2)x+3^(1/2) ⑶由上可知直线EF的函数为：y=-3^(1/2)x+3^(1/2) 则，F点的坐标为：（0，3^(1/2)） 且∠DFP=30°，DF=CF=2*3^(1/2)-3^(1/2)=3^(1/2) P点在EF上，要使△PFD为等腰三角形，则有（三种情况）： ①P1D=P1F 过P1作P1Q⊥DF于Q，则Q为DF中点 FQ=DF/2=（3^(1/2)）/2，则P1F=QF/cos∠DFP1=1 所以P1点横坐标为：-P1F*cos60°=-1/2 纵坐标为：3^(1/2)+P1F*sin60°=(3*3^(1/2))/2 即P1为（-1/2，(3*3^(1/2))/2） ②DF=P2F 此时P2F=3^(1/2) 所以P2点横坐标为：-P2F*cos60°=-（3^(1/2)）/2 纵坐标为：3^(1/2)+P2F*sin60°=(5*3^(1/2))/2 即P3为（-（3^(1/2)）/2，(5*3^(1/2))/2） ③DF=DP3 过D点作DR⊥P3F于R，则R为P3F中点 在Rt△DFR中，FR=DF/cos∠DFP3=2,则FP3=4 所以P3点横坐标为：-P3F*cos60°=-2 纵坐标为：3^(1/2)+P3F*sin60°=3*3^(1/2) 即P3为（-2，3*3^(1/2)） 这很难写呀，根号和分数不好表示