Question

已知如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上

已知如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．

Answer 1

证明：过点F分别作AE、BC、AD的垂线FP、FM、FN，P、M、N为垂足，
∵CF是∠BCE的平分线，
∴FP=FM．
同理：FM=FN．
∴FP=FN．
∴点F在∠DAE的平分线上．

Answer 2

过F作FM⊥AD于M，作FN⊥AE于N，作FP⊥BC于P
∵已知BF是 DBC的角平分线，FC是 BCE的角平分线
∴由角平分线性质可得FM=FP=FN
∴在直角三角形AFM与直角三角形AFN中
AF=AF
FM=FN
∠ AMF=∠ANF=90
三角形AFM≌三角形AFN
∠MAF=∠NAF
即∠DAF=∠FAE
点F在∠DAE的平分线上

解析

过点F分别作AE、BC、AD的垂线FP、FM、FN，P、M、N为垂足．根据角平分线的性质可得FP=FM，FM=FN．∴FP=FN，∴点F在∠DAE的平分线上．

Answer 3

过点F分别作AD,BC,AE的垂线FG,FH,FI.垂足分别为点G,H,I
∵∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F
∴FG=FH,FH=FI(角平分线到角两边的距离相等)
∴FG=FI（等量代换）
∴点F在∠DAE的平分线上（上述的逆定理）