Question

已知：如图，等边△ABC中，AB=1．若D、E分别是BC、AC上的点（点D与B、C不重合），且∠ADE=60°．设BD=x，

已知：如图，等边△ABC中，AB=1．若D、E分别是BC、AC上的点（点D与B、C不重合），且∠ADE=60°．设BD=x，AE=y．（1）找出与∠BAD相等的角，并给出证明；（2）求y关于x的函数关系式，并求出y的最小值；（3）△ADE可能为等边三角形吗？如若可能，求出此时x值，若不可能，说明理由．

Answer 1

（1）与∠BAD相等的角为∠CDE．理由如下：
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=60°，
∴∠BAD+∠ADB=120°，
∵∠ADE=60°，
∴∠ADB+∠CDE=120°，
∴∠BAD=∠CDE；
（2）∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，AB=BC=AC=1，
设BD=x，AE=y，则DC=1-x，CE=1-y，
∵∠BAD=∠CDE，
∴△ABD∽△DCE，
∴AB：DC=BD：CE，即1：（1-x）=x：（1-y），
∴y=x²-x+1，
∵y=（x-

1

2

）²+

3

4

，
∴当x=

1

2

时，y有最值为

3

4

；
（3）△ADE不可能为等边三角形．理由如下：
∵点D与B、C不重合，
而∠BAC=60°，
∴∠DAE≠60°，
∴△ADE不可能为等边三角形．