如图1，在△ABC中，AB边上高CE与AC边上高BD相交于H点．若BC=25，BD=20，BE=7．（1）求DE的长；（2）如图2
如图1，在△ABC中，AB边上高CE与AC边上高BD相交于H点．若BC=25，BD=20，BE=7．（1）求DE的长；（2）如图2，若以DE为直径作圆，分别与AC、AB交...
如图1，在△ABC中，AB边上高CE与AC边上高BD相交于H点．若BC=25，BD=20，BE=7．（1）求DE的长；（2）如图2，若以DE为直径作圆，分别与AC、AB交于G、F，连AH，求证：AH⊥GF．
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由已知得CD=15，CE=24，
（1）由题设知∠ADB=∠AEC=90°，
∴△ADB∽△AEC，
故
＝
＝
…①，
由①有
，
∴
，
∴点D是Rt△AEC的中点，
∴故DE=
AC=15；
（2）证明：
方法一：由条件知：G、F、E、D；E、D、C、B四点共圆，
则∠AFG=∠ADE=∠EBC，故GF∥BC；
方法二：连DF，则DF∥CE，
由（1）知D为AC中点，
∴F为AE中点，
∴AF=9，
∴AG=
，
∴
＝
＝
，
∴
＝
，
∴
＝
，
∴GF∥BC，
又∵H为△ABC垂心，
∴AH⊥BC，
∵GF∥BC，
∴AH⊥GF．
（1）由题设知∠ADB=∠AEC=90°，
∴△ADB∽△AEC，
故
| AD |
| AE |
| BD |
| CE |
| AB |
| AC |
由①有
|
∴
|
∴点D是Rt△AEC的中点，
∴故DE=
| 1 |
| 2 |
（2）证明：
方法一：由条件知：G、F、E、D；E、D、C、B四点共圆，
则∠AFG=∠ADE=∠EBC，故GF∥BC；
方法二：连DF，则DF∥CE，
由（1）知D为AC中点，
∴F为AE中点，
∴AF=9，
∴AG=
| 54 |
| 5 |
∴
| AG |
| AC |
| ||
| 30 |
| 9 |
| 25 |
∴
| AF |
| AB |
| 9 |
| 25 |
∴
| AG |
| AC |
| AF |
| AB |
∴GF∥BC，
又∵H为△ABC垂心，
∴AH⊥BC，
∵GF∥BC，
∴AH⊥GF．
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