Question

已知函数f（x）=x 3 -ax 2 -3x.（1）若f（x）在区间［1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；（2）若x=

已知函数f（x）=x 3 -ax 2 -3x.（1）若f（x）在区间［1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；（2）若x=- 是f（x）的极值点，求f（x）在［1，a］上的最大值；（3）在（2）的条件下，是否存在实数b，使得函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点，若存在，请求出实数b的取值范围；若不存在，试说明理由.

Answer 1

（1）a≤0（2）f（x）在［1，4］上的最大值是f（1）=-6（3）存在符合条件的实数b，b的范围为b＞-7且b≠- 3

（1）f′(x)=3x 2 -2ax-3 ∵f(x)在［1，+∞）上是增函数, ∴f′(x)在［1，+∞）上恒有f′(x)≥0， 即3x 2 -2ax-3≥0在［1，+∞）上恒成立 则必有 ≤1且f′(1)=-2a≥0,∴a≤0. (2）依题意，f′(- )=0,即 + a-3=0 ∴a=4,∴f（x）=x 3 -4x 2 -3x 令f′（x）=3x 2 -8x-3=0， 得x 1 =- ，x 2 =3.则 当x变化时，f′(x),f(x)的变化情况如下表： x 1 （1，3） 3 （3，4） 4   - 0 +   f (x) -6 -18 -12 ∴f（x）在［1，4］上的最大值是f（1）=-6. （3）函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点，即方程x 3 -4x 2 -3x=bx恰有3个不等实根 ∴x 3 -4x 2 -3x-bx=0，∴x=0是其中一个根， ∴方程x 2 -4x-3-b=0有两个非零不等实根， ∴ ,∴b＞-7且b≠-3. ∴存在符合条件的实数b，b的范围为b＞-7且b≠- 3.