Question

已知数列{an}满足an+1=2（n+1）?5n?an，a1=3，求数列{an}的通项公式

已知数列{an}满足an+1=2（n+1）?5n?an，a1=3，求数列{an}的通项公式．

Answer 1

∵a_n+1=2（n+1）?5ⁿ?a_n，a₁=3，
∴

an+1

an

=2（n+1）?5ⁿ，
∴n≥2时，a_n=a₁?

a2

a1

?

a3

a2

…

an

an?1

=3×（2×2×5¹）（2×3×5²）…（2n?5^n-1）
=3×2^n-1×5^{1+2+3+…+（n-1）}?（2×3×4×…×n）
=3n!×2^n-1×5

n(n?1)

2

．

Answer 2

∵an+1=2（n+1）•5n•an，a1=3，
∴an+1/an =2（n+1）•5n，
∴n≥2时，an=a1•a2 /a1•a3/a2 …an/an−1
=3×（2×2×51）（2×3×52）…（2n•5n-1）
=3×2n-1×51+2+3+…+（n-1）•（2×3×4×…×n）
=3n!×2n-1×5n(n−1) /2
．