Question

已知数列{an}满足：a1=14，a2=34，an+1=2an-an-1（n≥2，n∈N*），数列{bn}满足b1＜0，3bn-bn-1=n（n≥2

已知数列{an}满足：a1=14，a2=34，an+1=2an-an-1（n≥2，n∈N*），数列{bn}满足b1＜0，3bn-bn-1=n（n≥2，n∈N*），数列{bn}的前n项和为Sn．（Ⅰ）求证：数{bn-an}为等比数列；（Ⅱ）求证：数列{bn}是单调递增数列；（Ⅲ）若当且仅当n=3时，Sn取得最小值，求b1的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）2a_n=a_n+1+a_n-1（n≥2，n∈N*）∴{a_n}是等差数列．
又a₁=

1

4

，a₂=

3

4

，
∴a_n=

1

4

+（n-1）-

1

2

=

2n?1

4

b_n=

1

3

b_n-1+

n

3

（n≥2，n∈N*），
∴b_n+1-a_n+1=

1

3

b_n+

n+1

3

-

2n+1

4

=

1

3

bn-

2n?1

12

=

1

3

（b_n-

2n?1

4

）=

1

3

（b_n-a_n）．
又∵b₁-a₁=b₁-

1

4

≠0
∴{b_n-a_n}是以b₁-

1

4

为首项，以

1

3

为公比的等比数列．
（Ⅱ）b_n-a_n=（b₁-

1

4

）?(

1

3

)n?1a_n=

2n?1

4

，b_n=（b₁-

1

4

）?(

1

3

)n?1+

2n?1

4

．
当n≥2时b_n-b_n-1=

1

2

-

2

3

（b₁-

1

4

）