Question

已知等差数列{an}中，a1+a3+a5=21，a2+a4+a6=27，数列{bn}前n项和为Sn，且4Sn=3bn-a1．（1）求an，bn；（

已知等差数列{an}中，a1+a3+a5=21，a2+a4+a6=27，数列{bn}前n项和为Sn，且4Sn=3bn-a1．（1）求an，bn；（2）当n∈N*时，求cn=4bn+1bn?1的最小值与最大值．

Answer 1

（1）设等差数列{a_n}的公差为d，则
∴a₁+a₃+a₅=21，a₂+a₄+a₆=27，
∴3a₃=21，3a₄=27，
∴a₃=7，a₄=9，
∴d=2，
∴a_n=a₃+2（n-3）=2n+1，
∴a₁=3，
∴4S_n=3b_n-3，①
n=1时，4S₁=3b₁-3，
∴b₁=-3，
n≥2时，4S_n-1=3b_n-1-3②，
∴①-②整理得b_n=-3b_n-1，
∴数列{b_n}是以-3为首项，-3为公比的等比数列，
∴b_n=（-3）ⁿ；
（2）c_n=

4bn+1

bn?1

=4+

5

(?3)n?1

，
n为奇数时，c_n=4-

5

3n+1

，
∵3ⁿ+1≥4，（n=1时取等号）
∴

11

4

≤4-

5

3n+1

＜4，
n为偶数时，c_n=4+

5

3n?1

，
∵3ⁿ-1≥8，（n=2时取等号）
∴4＜4+

5

3n?1

≤

37

8

，
综上，

11

4

≤c_n≤

37

8

，c_n≠4，
∴c_n=

4bn+1

bn?1

的最小值

11

4

，最大值是

37

8

．